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第6回 なんでもフラクタル

2007年8月 3日

romanesco.jpg

写真の「ロマネスコ」というカリフラワーのように、全体と一部分がどこでも同じような形をしているものをフラクタル构造といいます。フラクタル构造は様々な面白い性质を持っており、比较的简単に美しいCGを生成するといった応用も多いので、一时かなり话题になりました。

単纯なフラクタル构造として、上図のように直线を三分割して折り曲げることを无限に缲り返してできるコッホ曲线というものが知られています。缩尺を大きくするたびに折り曲げを行なうことにすると、缩尺を3倍にすると长さは4倍、缩尺を9倍にすると长さは16倍...という具合に缩尺と长さは変化しますが、长さと缩尺の対数をとると、その比は常にlog(4)/log(3)=1.2618という一定の値になり、この値はフラクタル次元と呼ばれます。

両対数グラフ上にプロットしたグラフが直线になるような関系があるとき、これらはべき乗则(幂乗则/Power Low)に従うといいます。フラクタル构造をもつ図形のパラメタはべき乗则に従いますが、一见フラクタル构造と関系无いところでもべき乗则が成立することがよくあります。たとえば、文章中でk番目に多く出现する単语の出现频度は1/kに比例するというZipfの法则と呼ばれる経験则がありますが、この関系は下図のようにべき乗则に従います。

zipf.png

また、富豪の収入もべき乗则に従うと言われています。世界の长者番付データをもとにしてグラフを书くと下図のようになり、确かにべき乗则が成立していることがわかります。

fugo.png

また最近はインターネットやSNSの様々なパラメタがべき乗则に従うことが発见されており、これらのフラクタル的な「スケールフリー」构造に関する研究が注目されています。べき乗则が観测される场合に必ず厳密なフラクタル构造が存在するとは限りませんが、何らかのフラクタル的な性质が存在するということは可能です。

■ご近所のべき分布

世の中の多くのものは钓钟状の正规分布に従うと一般に信じられている気がしますが、実际は正规分布をとる现象は世の中では小数派です。単语の出现频度も富豪の収入も正规分布にならず、べき乗则に従うべき分布に従うわけですが、このような分布は実は全く珍しいものではなく、あらゆる场所で観测することができます。

下の図は、私のホームディレクトリに入っているファイルを大きさでソートして両対数グラフ上にプロットしたものですが、単语の出现频度と同じように、かなり奇丽なべき分布になっていることがわかります。

filesize2.png

また下図は、私がメモに使っているWikiサイトのページアクセス回数を回数でソートして并べたものですが、やはり奇丽なべき分布になっています。

wikifreq.png

私のWikiページではアクセス时刻もすべて记忆しているのですが、アクセスの时间间隔をプロットすると下図のようになり、やはりべき分布に従っていることがわかります。

wikiaccessinterval.png

このように、私の个人的なファイルについて调べてみると、あらゆるパラメタがべき分布していることが判明してしまいました。私は大きなテキストファイルも小さなテキストファイルも持っていますし、大きな画像ファイルも小さな画像ファイルも持っています。私の计算机にはこれらの雑多なファイルがまとめて入っているという点がフラクタル的性质の元になっているのでしょう。

メーリングリストのトラフィック、交通渋滞、ネットワークトラフィックなど、様々な复雑な事象においてべき分布が报告されており、その発生する理由について様々な解析が行なわれていますが、どうやら、强い制约が存在しない场合、ほとんどあらゆる状况において复雑/大规模な事象はべき分布に従うと断言してしまって大丈夫な気がします。80:20の法则として有名なパレートの法则や、最近流行のロングテール现象もすべてべき分布にもとづく性质の表现であり、このような性质はあたりまえのものなのかもしれません。ネットワークのような复雑なシステムにおいてはフラクタル的なべき分布が出现するのは当然であり、その现象が最近発见されて注目されたという点の方が不思议な気がします。

■フラクタル性の応用

复雑なシステムにおいてべき乗则が出现する理由を説明するための様々なモデルが提案されています。しかし、あるモデルによって计算した结果が実际と一致していたとしても、全く异なる方法でも同じような结果が得られる可能性も高いので、本当にそのモデルが成立しているのかを证明することは难しそうです。一方、べき乗则の出现理由についてはわからなくても、べき乗则を効果的に利用する方法を工夫することは可能です。世の中のものはほとんどがフラクタル的であることを理解したうえで、それを考虑したシステムを设计して利用することを考えるとよさそうです。

电话やネットワークのような大规模システムは最初から统计的性质を充分考虑して作成されており、フラクタル的性质に充分対応できる仕様になっています。しかし个人で使うパソコンのような小さなシステムでは、フラクタル的性质は全く考虑されずに设计されています。ファイルの构造がフラクタル的、メールの届き方もフラクタル的、メニューの使い方もフラクタル的...だという性质がわかっているのであれば、それに対応したシステムを设计するべきですが、现在このような性质はほとんど考虑されていません。よく使うメニュー项目はロングテールな机能とは别に扱う方が良いでしょうし、大きなファイルと小さなファイルは别のディスクに格纳する方が良いかもしれません。フラクタル性/べき乗则について充分配虑したシステムの设计について考えてみると面白そうです。

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プロフィール

1959年生まれ。ユーザインタフェース研究。POBox、QuickML、本棚.orgなどのシステムを开発。ソニーコンピュータサイエンス研究所、産业技术総合研究所、Apple Inc.など勤务を経て现在庆应义塾大学教授。着书に『インターフェイスの街角』などがある。

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